向量及线性运算
向量的概念
既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）
模等于零的向量叫做零向量，记作 $\vec 0$
向量的模、方向角、投影
$|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
非零向量$r$与三条轴坐标的夹角 $\alpha ,\; \beta ,\; \gamma$称为向量的方向角。
$(\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma) = (\frac{x}{|r|},\frac{y}{|r|},\frac{z}{|r|})=\frac{r}{|r|}=e_r$
$e_r$ 是与 $r$ 同方向的单位向量
$\cos^2 \alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1$
向量$r$ 在$u$轴上的投影记作$Prj_ur$ 或$(r)_u$
性质1 $(a)_u = |a|cos\varphi$，其中$\varphi$为向量$a$ 与向量$u$的夹角
性质2 $(a+b)_u = (a)_u + (b)_u$
性质3 $ (\lambda a)_u = \lambda(a)_u$
数量积 向量积 混合积
数量积
$a·b = |a||b|cos\theta$
$a·b = |a|Prj_ab = |b|Prj_ba$
向量积
$c=a \times b$
$c$ 的模等于 $|a||b|sin\theta$
$c$ 所指的方向，右手规则，由 $a$ 转向 $b$，大拇指所指的方向
$a \times b = - b \times a$
混合积
$[abc] = (a \times b) · c$
平面及其方程
曲面方程以及空间曲线方程的概念
如果曲面$S$与三元方程$F(x,y,z)=0$有下述关系：
- 曲面$S$上任一点都满足方程
- 不在曲面$S$上的都不满足方程
那么，方程就叫做曲面 $S$ 的方程，而曲面$S$ 就叫做方程的图形。
空间曲线可以看作两个曲面$S_1,S_2$的交线。
设$F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0$分别是两个曲面的方程，他们的交线为$C$。因为$C$上的任何点的坐标都同时满足这两个方程，所以应满足方程组
\(\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\)
方程组就叫做空间曲线的方程组，而曲线$C$就叫做方程组的图形。
平面的点法式
如果一个非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0\)
叫做平面的点法式方程。
平面的一般方程
\(Ax+By+Cz+D=0\)
截距式方程
\(\frac xa+\frac yb+\frac zc = 0\)
两平面的夹角
\(\cos\theta = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)
空间直线及其方程
空间直线的一般方程
\(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\)
二次曲面
我们把三元二次方程 $F(x,y,z) = 0$ 所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面
二次曲面有九种
- 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = z^2$
- 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
- 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
- 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
- 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = z$
- 双曲抛物面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = z$
- 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
- 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$
- 抛物柱面 $x^2=ay$
空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
\(\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\)
空间曲线的参数方程
\(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z= z(t)\end{cases}\)
随着$t$点的变动便可以得到曲线$C$上的全部点。
空间曲线在坐标面上的投影
\(\begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0 \end{cases}\)
术语表
| calculus | 微积分 |
| integral | 积分 |
| factorial | 阶乘 |
| cube | 立方 |